중첩(Convolution)과 상관함수(Correlation Function)






 

1. 중첩(Convolution)
가. 정의
– 두개의 함수가 스펙트럼 영역을 엇갈리게 적분하여 하나의 함수로 융합되는 것
– 중첩은 선형시스템에서 입력에 대한 응답 출력을 구하는 데 사용됨
– 입력을 x(t), 출력을 y(t), 임펄스 응답을 h(t)라고 하면 다음 식으로 표현됨

나. 특징
– 교환법칙 성립(계산 상으로는 시스템과 입력신호 비구분)
– 두 개의 시간 함수의 중첩은 τ가 의사 변수이므로 적분 결과는 t의 함수가 됨
– 시간 영역에서의 중첩은 주파수 영역에서의 곱으로,
– 주파수 영역에서의 중첩은 시간 영역에서의 곱으로 나타냄
– convolution은 계산적 방법과 도식적 방법으로 구할 수 있음
– 구형파 시간 함수끼리의 convolution은 ramp 함수가 됨

다. 응용
– 시스템 해석
– Digital & Analog Filter 해석
– Impulse 응답
– 시스템 출력 해석
– DSP(Digital Signal Processing)

2. 상관함수(Correlation Function)
가. 정의
– 시간영역에서 두 신호 사이의 상호 연관성을 나타내는 함수
– 상관계수는 백터공간에서 두 신호점간의 유사성을 정의
– 상관함수는 시간영역에서 두 신호의 유사성을 결정하는데 사용

나. 특징
– 상관함수의 종류에는 자기상관함수와 상호상관함수로 표현됨
– 상관함수의 Fourier 변환과 중첩적분의 Fourier 변환은 같음
– 상관함수의 Fourier 변환은 전력에 관한 주파수 스펙트럼임
– 우함수 이며, τ =0에서 최대값을 가짐

다. 응용
– System의 평균전력
– 전력스펙트럼 밀도(Power Spectrum density), system의 analysis
– 통신에서 Quadrature, 특정 신호성분의 존재판별, PN부호 판별에 사용

3. 중첩(Convolution)과 상관함수(Correlation Function)의 상호 관계
– 시간 영역에서 중첩과 상관을 구하는 것은 많은 연산을 필요로 함
– FFT를 이용하여 이들 연산을 고속으로 수행 가능
– 중첩 정리 : x(t)의 주파수 변환치를 X(f), h(t)의 주파수 변환치를 H(f)라면
Y(f) = X(f) H(f)를 얻은 후 Y(f)의 역변환을 취하면 y(t)f를 얻음



(주)리화이트 대표 / CEO & Founder

  • 전자공학도

    좋은자료 잘보고갑니다.
    그런데 맨밑에 표가 convolution과 correlaion이 바뀐거 같네요 ^^

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